ESTRUTURA do SISTEMA de EDUCAÇÃO HOLANDÊS

ESTRUTURA do SISTEMA de EDUCAÇÃO HOLANDÊS

Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa Departamento de Educao Mestrado em Educao rea de Especializao: Didctica da Matemtica Fundamentos de Didctica da Matemtica Estudo de Caso Educao Matemtica Realista 1. Grupo de investigao 2. Realistic Mathematics Education 3. Exemplos da investigao 4. Developmental Research 5. Bibliografia Ana Henriques, Ana Matos, Neusa Branco e Paula Costa 04/01/2005 1. Grupo de Investigao A Holanda resiste ao movimento da Matemtica Moderna Em 1970, o Instituto para o Desenvolvimento da Educao

Matemtica (IOWO), sob a direco de Freudenthal, resulta da atitude crtica para com este movimento Freudenthal (1905 1990) Grupo de Investigao Foco: Desenvolvimento Educacional com base nas prticas educacionais Abordagem inovadora em vrios campos: Desenvolvimento curricular Formao de professores Investigao educacional Feedback das escolas Desenho e discusso de exemplos inspiradores (prottipos) Em 1981, O IOWO sucedido pelo grupo de investigao para

a educao matemtica e centro de computao educacional (OW&OC) Em 1991, o seu nome alterado para Instituto Freudenthal Grupo de Investigao Staff FI Executive Comitee teaching methodology mathematics language oriented mathematics

education research and curriculum development longitudinal teaching-learning trajectories for mathematics research and curriculum development assessment numeracy

ICT and didactics digital learning environments algebra professional development of teachers quality care primary and secondary education primary

education, middle school, middle and high school Grupo de Investigao Koeno Gravemeijer Doutorado em educao matemtica Membro do Instituto Freudenthal desde 1986 Coordenador de investigao e professor catedrtico na Universidade de Utrecht Autor de livros escolares para o ensino primrio holands 1998 - 2001 - Trabalhou no Instituto Freudenthal e a tempo parcial

como Research Associate Professor na Univ. de Vanderbilt (USA) Actividades Publicaes Interesses de investigao (colaborativa Cobb e Yackel) - Developing realistic - Realistic mathematics educ. - Developmental work - Developmental research mathematics education - Developmental research um dos seus livros - Papel dos smbolos e - Evaluation research mais recentes. () modelos na ed. matemtica

Projectos de investigao em curso Coordenador Domain Specific Skills Investigations with the computer Mathematics and ICT Students' contribution in realistic mathematics education Mathematics and Information and Communication Technology Mathematics education in vocational training Middle School Design Collaborative Science and mathematics teaching in upper secondary education ()

Grupo de Investigao Investigador Algebra in context, learning and assessment Information technology in secondary vocational education Calculus and kinematics Learning algebra using CAS Minorities in realistic mathematics education Integration of mathematics, biology and science Jumping ahead Jumping ahead: an innovative training programme up to 100

Cooperation in a multi ethnic class Reinvention of calculus and mechanics () Grupo de Investigao Algumas questes de investigao do grupo Como desenhar actividades de ensino que faam a ligao com o conhecimento informal situado dos alunos e lhes permitam desenvolver um conhecimento mais formal, sofisticado e abstracto de acordo com os princpios bsicos da autonomia intelectual? Como se pode levar os alunos a reinventar o que queremos que eles reinventem? [Como deve ser conduzido o processo de aprendizagem?] 2. Realistic Mathematics Education - RME Matemtica como actividade humana (Freudenthal, 1971)

Actividade matemtica - Resoluo de problemas - Procura de problemas - Organizao de situaes de acordo com padres matemticos (puramente matemticas ou da realidade) Matematizao processo de tornar mais matemtico - Generality (procura de analogias, classificao e estruturao) - Certainty (reflexo, justificao e prova) - Exactness (modelao, simbolizao, definio) - Brevity (simbolizao e esquematizao) Realistic Mathematics Education Importncia da Matematizao - uma actividade principal dos matemticos - Familiariza os alunos com a abordagem matemtica que pode ser usada nas situaes do dia-a-dia - Possibilita o processo de reinveno matemtica (os alunos

experienciam um processo semelhante ao desenvolvido pelos matemticos) Treffers (1978, 1987) explicita a ideia de dois tipos de matematizao: - Matematizao horizontal Os alunos utilizam recursos que lhes permitem organizar e resolver um problema existente numa situao da vida real - Matematizao vertical Processo de reorganizao, dentro do sistema matemtico em si. Por exemplo, encontrar conexes entre conceitos, estratgias de resoluo e aplicar essas descobertas Realistic Mathematics Education Princpios que caracterizam a RME: - Actividade Os alunos devem ser confrontados com situaes

problemticas e participar activamente na sua resoluo, porque a melhor maneira de aprender fazendo (Freudenthal) - Realidade Os alunos devem comear por analisar contextos ricos que possam ser matematizados, em vez de comearem por abstraces e definies. Um dos objectivos o de que os alunos sejam preparados para usar a Matemtica na resoluo de problemas - Nvel Aprender Matemtica implica que os alunos passem por diferentes nveis de entendimento. A reflexo sobre as actividades desenvolvidas pode permitir essa passagem ao nvel seguinte Realistic Mathematics Education - Inter-relao A Matemtica tida como uma disciplina que

no est dividida em captulos estanques, uma vez que para resolver problemas em contextos ricos, vrios conhecimentos e ferramentas matemticas podem ser necessrios - Interaco A Matemtica entendida como uma actividade social. A escola deve proporcionar aos alunos a oportunidade de partilhar as suas estratgias e descobertas com outros. No entanto, as crianas continuam a ser consideradas como indivduos, e deve ser feita a adaptao a cada um (proposta de problemas solveis a diferentes nveis) - Orientao Deve ser dada aos estudantes a oportunidade de re- inventar a Matemtica. Professores e programas educacionais tm um papel crucial na forma como os alunos apropriam conhecimentos, porque proporcionam cenrios com potencial para

os alunos trabalharem e atingirem os novos objectivos Exemplos da investigao 3. Exemplos da investigao Um livro tem 64 pginas das quais j li 37. Quantas pginas me faltam ler? A investigao foi realizada, utilizando esta tarefa, com 44 estudantes holandeses que se encontravam no final do 3 ano. (dados recolhidos por Vuurmans, 1991) Exemplos da investigao Os dados recolhidos mostram uma grande variedade de estratgias de resoluo, que se podem categorizar como: Sequncia adicionando por passos ou subtraindo por

passos Diviso dividindo as unidades e as dezenas e combinando os resultados no final Competncia de clculo usando as caractersticas dos nmeros envolvidos Algoritmo (coluna) execuo mental do algoritmo em coluna O primeiro mtodo o mais popular e o mais efectivo Os bons resultados neste problema de clculo so alcanados por . este mtodo Contudo, este mtodo no ensinado nas escolas uma estratgia que os prprios jovens inventam, isto , uma estratgia informal Exemplos da investigao Muitos alunos resolvem o problema fazendo: 37 + 10 = 47 47 + 10 = 57

57 + 3 = 60 60 + 4 = 64 Faltam ler 27 pginas. A operao feita por partes, numa sequncia de adies, o que os investigadores associam a movimentaes numa linha numrica Este facto sugere que pode fazer sentido levar os alunos a simbolizar a sua resoluo atravs de saltos numa linha numrica Exemplos da investigao Treffers (1990) prope uma corrente de contas e uma linha numrica vazia: 100 contas em duas cores contrastantes Exemplo 1: 37 + 10 = 47 47 + 10 = 57 57 + 3 = 60 60 + 4 = 64

Faltam ler 27 pginas. Exemplos da investigao Exemplo 2: 65 - 38 Tirando 38 de 65 Exemplos da investigao Exemplo 2: 65 - 38 Comparando 65 e 38 e estabelecendo a diferena Treffers defende que a linha numrica vazia pode ser uma boa ferramenta didctica para a adio e subtraco de nmeros menores que 100 Exemplos da investigao

Tendo em conta a ideia de usar a linha numrica vazia como modelo, a Developmental Research necessria para: Perceber como uma tarefa pode ser construda de modo a explorar esta ideia Verificar se a ideia realmente funciona As respostas s duas questes anteriores constitui a justificao da ideia inicial, agora elaborada numa teoria local, de como utilizar a linha numrica vazia como um modelo de aprendizagem da adio e da subtraco de nmeros com dois dgitos Exemplos da investigao A justificao para a ideia de usar a linha numrica vazia est relacionada com a resposta s questes seguintes: 1. Porque houve a necessidade de desenvolver algo novo? Que problema era necessrio resolver? 2.

Por que motivos foi escolhida a linha numrica vazia? 3. Como, exactamente, foi elaborada a abordagem da linha numrica vazia e porqu desta forma particular? 4. At que ponto existe confirmao experimental das expectativas? 1. Que problema necessrio resolver? Exemplos da investigao Verificaram-se alguns problemas em relao aritmtica de nmeros com dois dgitos: A frequente utilizao meramente instrumental dos manipulveis da base 10 (Dienes blocks) O uso corrente de procedimentos incorrectos, especialmente na execuo do algoritmo standard da subtraco 2. Porqu a linha numrica vazia? A representao linear apropriada para a contagem de nmeros

(tem a ver com a noo de distncia) Favorece o surgimento de processos de soluo informais O novo modelo d liberdade aos alunos para desenvolverem os seus prprios procedimentos de soluo e proporciona-lhes o desenvolvimento de estratgias cada vez mais sofisticadas Exemplos da investigao 3. Como foi construda esta abordagem? A linha numrica surgiu em situaes de medida, e por isso, associada a uma rgua rgida com distncias dadas previamente. No entanto, nem todas as experincias efectuadas foram bem sucedidas Foi necessrio encontrar uma outra forma de introduzir a linha numrica Treffers props o uso inicial de uma corrente de contas estruturada. Os nmeros so representados colocando uma marca junto ltima conta contada

28 Exemplos da investigao 3. Como foi construda esta abordagem? (continuao) A forma como a corrente de contas est estruturada ajuda os alunos a encontrar o nmero dado. As dezenas servem como ponto de referncia de duas maneiras: Existem 6 dezenas em 64 Existem quase 7 dezenas em 69 Depois deste trabalho, a linha numrica vazia pode ser introduzida como um modelo para a corrente de contas e as aces na mesma: Os alunos marcam apenas os nmeros essenciais em cada situao Os alunos escolhem o local onde querem marcar esses nmeros Exemplos da investigao 4. Existe confirmao experimental das expectativas?

Estudos experimentais realizados com alunos tomados individualmente e posteriormente por estudos empricos realizados nos Estados Unidos da Amrica: Resultados encorajadores: Os alunos eram capazes de trabalhar bastante bem com a linha numrica vazia e desenvolviam uma larga variedade de procedimentos de soluo, o que mostra que o que faziam tinha sentido para eles (Treffers & De Moor, 1990) A linha numrica vazia realmente funciona como um modelo flexvel que estimula uma aritmtica flexvel Exemplos da investigao Foram notados, no entanto, alguns problemas na subtraco. Problema 1 Quando eram dados dois nmeros e pedida a diferena tudo correu bem

Os problemas apareceram foram pedidas descontextualizadas, como por exemplo, 63 49 subtraces Muitos alunos colocaram o 63 no incio da linha o que lhes tornou difcil retirar 46 Este problema foi facilmente superado Exemplos da investigao Problema 2 Outros alunos colocaram ambos os nmeros na linha e no souberam o que fazer a seguir, o que constituiu um problema mais difcil de resolver Os investigadores concluram que: A introduo de subtraces descontextualizadas deveria ser feita

apenas aps a introduo de problemas contextualizados, em que a situao pudesse ser representada na linha de uma forma mais natural Exemplos da investigao Exemplo: O Jim fez um passeio de Franklin para Madisson. A distncia de Franklin a Madisson de 86 milhas. No regresso, ficou sem gasolina depois de percorrer 78 milhas. Qual a distncia at Franklin, naquele momento? Representao mais natural da situao: - Contar de 86 para trs. Processo mais eficiente de resoluo: - Comparar 78 e 86.

S numa fase final dever surgir o distanciamento da situao e o uso generalizado da linha numrica vazia Concluses retiradas desta investigao: Exemplos da investigao As actividades com a corrente de contas destinam-se a criar situaes que possam ser modeladas pela linha numrica vazia. Devem ser tambm introduzidos problemas contextualizados que possam ser modelados de forma semelhante Depois a linha numrica vazia pode funcionar como um esquema de notao formal para a adio e subtraco A linha numrica funciona primeiro como um modelo de situaes reais e depois para clculos abstractos [Ou seja, o papel da linha numrica mudou de modelo de para modelo para, atravs dos processos de generalizao e formalizao]

Enquanto o algoritmo em coluna prescreve a forma como os alunos devem pensar, a notao na linha numrica flexvel e acompanha a maneira como os alunos pensam 4. Developmental Research Mtodo de investigao que surgiu como uma resposta necessidade de desenvolver um novo tipo de educao matemtica. O seu objectivo constituir uma teoria para a realistic mathematics education que seja coerente com os seus princpios vista como uma forma de investigao de base para o trabalho dos profissionais em desenvolvimento curricular Consiste numa mistura de desenvolvimento curricular e investigao educacional, em que o desenvolvimento de actividades de ensino usado como um meio para elaborar e testar uma teoria de instruo

Developmental research Tem sido o mtodo de investigao que tem estado no corao do processo de inovao na Holanda desde os anos 70 Faz uma integrao de desenvolvimento e investigao que pode ser descrita tambm como desenvolvimento pela investigao e investigao pelo desenvolvimento Filosofia da Developmental Research Developmental Research - Prtica Developmental Research - Metodologia O processo desenho preliminar de um conjunto de actividades de ensino para um tpico matemtico especfico. O investigador pode retirar ideias de diversas fontes

[currculo, textos de educao matemtica relatrios de investigao,] re-construo das sequncias de ensino com base em dados empricos e de uma teoria de instruo local (justificao das opes tomadas) para possibilitar o entendimento por outsiders, a discusso alargada e o acordo generalizado. construo de uma teoria de domnio especfico e de um conjunto de prottipos de sequncias de ensino, consistentes com os princpios da RME, com base nas teorias locais [de cada um dos pequenos projectos de investigao que fazem parte do programa global de investigao] Theory-guided bricolage Developmental research Developmental research

teoria de instruo local conjecturada exp exp reflexo reflexo exp reflexo exp reflexo Currculo e Teoria so construdos conjuntamente exp ensino

exp ensino exp ensino exp ensino unidade = actividade de ensino Relao reflexiva entre teoria e experincias Developmental research O paradigma da developmental research abandona a ideia de testar ready-made courses em favor de uma experincia em que o

tratamento seja aberto a adaptao e elaborao. Isto resulta num processo de aprendizagem para o developmental researcher Os professores tomam como ponto de partida (conjecturas) as teorias dos investigadores, as quais podem ser modificadas na sua prpria sala e de acordo com as suas experincias. Desta forma, os professores podem produzir a sua prpria contribuio para o desenvolvimento dessas teorias, em vez de serem consumidores passivos do conhecimento produzido por outros Este tipo de investigao situa-se numa categoria de investigao que pode ser chamada de investigao transformista (Research Advisory Committee of NCTM, 1988) Developmental research As ideias de Freudenthal de matemtica como uma actividade humana e de educao matemtica como reinveno orientada constituem o ponto de partida para o desenvolvimento de sequncias de prottipos (materiais de ensino). Este um processo iterativo e

cumulativo de desenho, exprimentao, reflexo, (re)desenho e teste de actividades instrucionais que d origem a uma teoria de instruo local, empiricamente baseada, para cada tpico As caractersticas comuns a estas teorias constroem uma teoria mais geral, teoria de domnio especfico para a realistic mathematics education e um conjunto de prottipos de sequncias instrucionais que se ajusta aos seus princpios Questes para discusso Que perspectiva parece ter o grupo de investigao em relao: Matemtica? ao currculo de Matemtica? ao tipo de tarefas mais importantes a propor ao aluno?

5. Bibliografia Gravemeijer, K. P. E. (1993). The empty number line as an alternative means of representing addition and subtraction. In J. De Lange, I. Huntley, C. Keitel, & M. Niss (Eds.), Innovation in maths education by modelling and applications (pp. 141-150). New York, NY: Ellis Horwood. Gravemeijer, K. P. E. (1994). Developing realistic mathematics education (tese de doutoramento). Gravemeijer, K. P. E. (1994). Educational development and developmental research in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 25(5), 443-471. Gravemeijer, K. P. E. (1998). Developmental research as a research method. In A. Sierpinska & J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics education as a research domain: A search for identity (pp. 277-296). Dordrecht: Kluwer. Gravemeijer, K. P. E. (1998). Developmental research: Research for the sake of educational change. In G. Cebola & M. A. Pinheiro (Eds.), Desenvolvimento

curricular em matemtica (pp. 41-66). Lisboa: SEM-SPCE. Gravemeijer, K. P. E. & Van Galen, F. (2003). Facts and algorithms as products of students own mathematical activity. In J. Kilpatrick, G. M. Martin & D. S. Schifter (Eds.), A research companion to principles and standards for school mathematics (pp. 114-122). Reston, VA: NCTM. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2000). Mathematics education in the Netherlands: A guided tour. Freudenthal Institute Cd-rom for ICME9. Utrecht: Utrecht University. 5. Bibliografia Endereos electrnicos http://peabody.vanderbilt.edu/depts/tandl/mted/collaborators/Gravemeijer.html http://www.fi.uu.nl/ http://www.apm.pt/emce_pa/port/programa_pbio.html#rijkjie http://math.twoday.net/stories/9878/ http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Freudenthal.html http://www.niwi.knaw.nl/en/oi/nod/organisatie/ORG1235806/

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